Question

如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S_n为前n个圆的面积之和，则

lim

n→∞

S_n=（　　）

• A、2πr²
• B、

  8

  3

  πr²
• C、4πr²
• D、6πr²

Answer 1

分析：依题意可知，图形中内切圆面积依次为：πr2，

3

4

πr2，

9

16

πr2，

27

64

πr2，由此可以求出则

lim

n→∞

S_n的值．

解答：解：依题意分析可知，
图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°，cos30°）cos30°，
即r，

3

2

r，

3

4

r，

3 3

8

r，
则面积依次为：πr2，

3

4

πr2，

9

16

πr2，

27

64

πr2，
所以

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(πr2+

3

4

πr2+)=πr2×

lim

n→∞

(1+

3

4

+

9

16

+

27

64

+)=πr2×

1

1- 3 4

=4πr2．
故选C．

点评：本题考查函数的极限，解题时要认真审题，仔细计算，避免出错．