Question

【题目】 如图所示的几何体中， ，平面，且平面，正方形的边长为2，为棱中点，平面分别与棱交于点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）2.

【解析】

（1）利用线面平行判定定理证得平面，再利用线面平行性质定理证得；

（2）证明直线平面，即证明垂直平面内的两条相交直线；

（3）建立空间直角坐标系，设，由，求得。

（1）证明：因为为正方形，所以，

又平面，平面，

所以平面.

因为平面平面，平面，

所以.

（2）证明：因为平面，所以.

因为是正方形，所以，又，

所以平面，所以.

因为为棱中点，且，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面.-

（3）如图所示，以分别轴建立空间直角坐标系，

因为，所以，，则

因为，

设，且，则，

由（2）可知平面，平面，所以，

所以，即，

所以.