Question

【题目】已知函数，其中常数

（1）当时，讨论的单调性

（2）当时，是否存在整数使得关于的不等式在区间内有解？若存在，求出整数的最小值；若不存在，请说明理由.

参考数据：，，，

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2) 1

【解析】

分析：(1)求导 ，设，讨论其值域，可得的单调性；

(2)当 时,设， ， 在 ,且

可知在(0,)内,唯一x0∈(,),使得lnx0=x02

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓当x∈(0,e)时,F(x)min =e3(xx0)

因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)

由此可求m的最小整数值.

详解：

解：(1) 求导，设 明显g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0

故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓

当 时,设， ， 在 ,且

注意F′()=3<0,F′()=e3(1ln2e2)≈0.1e3>0

故在(0,)内,唯一x0∈(,),使得lnx0=x02

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓

当x∈(0,e)时,F(x)min =F(x0)=e3(x0lnx0x+x0)=e3(xx0)

因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)

当x0∈(,)时,F(x)min=e3(xx0)∈(,e)≈(3.32,2.51)

因2m为偶数,故需2m≥2m≥1,即m的最小整数值为1