Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．

（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；

（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）推导出AC⊥BC，CD⊥AD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．
（2）以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AC-D的平面角的余弦值．

（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，

∴，

∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，

在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，

设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，

在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2ADACcos30°＝3，

∴CD＝，

∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，

∵PD⊥平面ABC，CD 平面ABC，

∴PD⊥CD，

又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，

又CD 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．

（2）解：∵PD⊥平面ABC，

∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，

∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，

由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，

分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），

＝（0，﹣3，﹣3），＝（），

则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，

设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），

则，取x＝，得＝（，﹣1，1），

设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，

则cosθ＝＝，

∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．