Question

【题目】已知函数，其中为实常数.

（1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围；

（2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）将所求问题转化为在上有解，进一步转化为函数最值问题；

（2）将所证不等式转化为，进一步转化为，然后再通过构造加以证明即可.

（1），根据题意，在内存在单调减区间，

则不等式在上有解，由得，设，

则，当且仅当时，等号成立，

所以当时，，所以存在，使得成立，

所以的取值范围为。

（2）当时，，则，从而

所证不等式转化为，不妨设，则不等式转化

为，即，

即，令，则不等式转化为，因为

，则，从而不等式化为，设，则

，所以在上单调递增，所以

即不等式成立，故原不等式成立.