Question

【题目】已知抛物线过点，该抛物线的准线与椭圆:相切，且椭圆的离心率为，点为椭圆的右焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，为平面上一定点，且满足，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）将点代入抛物线方程可得,即可得到准线方程,又由于椭圆相切可得,再利用椭圆的离心率求得,进而求解；

（2）分别讨论直线斜率为0与直线斜率不为0的情况,利用斜率公式处理,对于直线斜率不为0的情况,设直线为,联立直线与椭圆方程,由韦达定理可得的关系,代入中即可求解.

（1）抛物线过点,,即,

∴抛物线的准线为,∴,

又∵,∴,,

∴椭圆的标准方程为.

（2）由（1）,右焦点,

若直线斜率为0,则不妨设,,

∴,满足条件,此时直线的方程为；

若直线的斜率不为0,设的方程为,

与椭圆的方程联立得:,可得恒成立,

设,,由韦达定理得,,①

∴,

将①代入得,解得,

综上所述,直线的方程为或.