Question

定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），h（x）=x-a，且g（x）在x=1处取得极值．
（1）求a的值及h（x）的单调区间；
（2）求证：当1＜x＜e²时，恒有x＜；
（3）把h（x）对应的曲线C₁向上平移6个单位后得到曲线C₂，求C₂与g（x）对应曲线C₃的交点的个数，并说明道理．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出函数g（x）后对其进行求导，将x=1代入导数g'（x）即可得到答案．
（2）欲证：x＜．只需证：x[2-f（x）]＜2+f（x），即证：f（x）＞．
（3）表示出C₂的解析式，h₁（x），转化为求h₁（x）与g（x）的交点个数即可．
解答：解：（1）由题意：g（x）=x²-af（x）=x²-alnx
g'（1）=2-a=0，∴a=2
而h（x）=x-2，h'（x）=1-，
令h'（x）=1-＞0  得  x＞1，所以 h（x）在（1，+∞）上位增函数
令h'（x）=1-＜0  得  0＜x＜1，h（x）在（0，1）上为减函数．
（2）∵1＜x＜e²∴0＜lnx＜2，∴2-lnx＞0，
欲证：x＜．只需证：x[2-f（x）]＜2+f（x），即证：f（x）＞
记k（x）=f（x）-=lnx-
∴k'（x）=
∴当x＞1时，k'（x）＞0∴k（x）在[1，+∞）上为增函数
∴k（x）＞k（1）=0，∴k（x）＞0
即lnx-＞0，∴lnx＞
∴结论成立

（3）由（1）知：g（x）=x²-2lnx，h（x）=x-2
∴C₂对应表达式为
∴问题转化为求函数g（x）=x²-2lnx与交点的个数
即方程：的根的个数
即：
设，h₃（x）=-x²+x+6，

∴当x∈（0，4）时，h₂′（x）＜0，h₂（x）为减函数
当x∈（4，+∞）时，h₂′（x）＞0，h₂（x）为增函数
而h₃（x）=-x²+x+6的图象开口向下的抛物线
∴h₃（x）与h₂（x）的大致图象如图：
∴h₃（x）与h₂（x）的交点个数为2个，即C₂与C₃的交点个数为2个．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减区间的问题．这里要熟记各种函数的求导法则．