Question

填空题
（1）已知

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

4

3

，则sin2x的值为

1

9

．
（2）已知定义在区间[0，

3π

2

]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称，当x≥

3π

4

时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为

(-1，-

2

2

)

．

（3）设向量

a

，

b

，

c

满足

a

+

b

+

c

=

0

，(

a

-

b

)⊥

c

，

a

⊥

b

，若|

a

|=1，则|

a

|2+|

b

|2+|

c

|2的值是

4

．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简已知条件可得cos（

π

4

+x）=

2

3

，由sin2x=-cos（

π

2

+2x），利用二倍角的余弦公式求出结果．
（2）作函数f（x）的图象，分析函数的图象得到函数的性质，分类讨论后，结合方程在a取某一确定值时所求得的所有解的和记为S，即可得到答案．
（3）由条件求得 |

a

|=1，|

b

|=1，再由得

c

2=[-(

a

+

b

)]2=

b

2+

a

2+2

a

•

b

=2，即可求得值．

解答：解：（1）∵

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

4

3

=

sin( π 2 +2x)

sin(x+ π 4 )

=

2sin( π 4 +x)•cos( π 4 +x)

sin(x+ π 4 )

=2cos（

π

4

+x），
∴cos（

π

4

+x）=

2

3

，∴sin2x=-cos（

π

2

+2x）=-[2cos2(

π

4

+x)-1]=-（-

1

9

 ）=

1

9

，
故答案为 

1

9

．
 （2）依题意作出函数y=f（x）在区间[0，

3π

2

]上的简图，当直线y=a与函数y=f（x）的图象有交点时，则可得-1≤a≤0．
①当-

2

2

＜a≤0，f（x）=a有2个解，②当a=-

2

2

时，f（x）=a有3个解，
③当-1＜a＜-

2

2

时，f（x）=a有4个交点，④a=-1时，f（x）=a有2个交点，
故方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为(-1，-

2

2

)，
故答案为 (-1，-

2

2

)．

 （3）由题意可得(

a

-

b

)•

c

=(

a

-

b

)•(-

a

-

b

)=0，∴

b

2=

a

2，|

b

|=|

a

|．
再由 |

a

|=1，可得|

b

|=1．
再由

a

•

b

=0，

c

=-（

a

+

b

） 可得

c

2=[-(

a

+

b

)]2=

b

2+

a

2+2

a

•

b

=2．
∴|

a

|2+|

b

|2+|

c

|2=4，
故答案为4．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的图象及性质，两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．