Question

1．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，AC=BC=6，AB=4，则球的体积是（　　）

• A． $13\sqrt{6}π$
• B． $27\sqrt{6}π$
• C． 27$\sqrt{7}$π
• D． 7$\sqrt{6}$π

Answer 1

分析 设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，即可求球的体积．

解答 解：如图，设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，
则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cosA=$\frac{1}{3}$，则sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{6}{sinA}$=2R，R=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，即O′C=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
在Rt△OCO′中，由题意得r²-$\frac{1}{4}$r²=（$\frac{9\sqrt{2}}{4}$）²，得r=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$．
球的体积=$\frac{4}{3}$πr³=27$\sqrt{6}$π．
故选：B．

点评 本题考查球的体积的求法以及正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力．