Question

【题目】已知向量 =（cos ，﹣1）， =（ sin ，cos2 ），设函数f（x）= +1．
（1）若x∈[0， ]，f（x）= ，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c﹣ a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= +1= sin cos ﹣cos2 +1= ﹣ +1=sin（x﹣ ）+ ．

∵f（x）= ，∴sin（x﹣ ）= ．

又∵x∈[0， ]，∴x﹣ ∈[﹣ ， ]，故 cos（x﹣ ）= ．

∴cosx=cos[（x﹣ ）+ ]=cos（x﹣ ）cos ﹣sin（x﹣ ）sin =

（2）解：在△ABC中，由2bcosA≤2c﹣ a，可得 2sinBcosA≤2sinC﹣ sinA，

∴2sinBcosA≤2sin（A+B）﹣ sinA，

∴2sinBcosA≤2（sinAcosB+cosAsinB）﹣ sinA，2sinAcosB≥ sinA，

∴cosB≥ ，∴B∈（0， ]．

∴sin（B﹣ ）∈（﹣ ，0]，即 f（B）=sin（B﹣ ）+ ，∴f（B）∈（0， ]

【解析】（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（x﹣ ）+1，由f（x）= ，求得sin（x﹣ ）= ，可得得cos（x﹣ ）= ．再由cosx=cos[（x﹣ ）+ ]计算求得结果．（2）在△ABC中，由条件2bcosA≤2c﹣ a 可得2sinAcosB≥ sinA，故 cosB≥ ，B∈（0， ]，由此求得 f（B）的取值范围．