Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ．
（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为 ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=

∵a＞0，∴f′（x）＞0

∴f（x）在定义域上单调递增

（2）解：由（1）知，f′（x）=

①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数

∵f（x）在[1，e]上的最小值为 ，

∴f（x）min=f（1）=﹣a= ，

∴a=﹣ （舍去）

②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，

∴f（x）min=f（e）=1﹣ = ，∴a=﹣ （舍去）．

③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a．

当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数；

当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）上为增函数，

∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1= ，∴a=﹣ ．

综上可知：a=﹣

【解析】（1）确定函数的定义域，根据f′（x）＞0，可得f（x）在定义域上的单调性；（2）求导函数，分类讨论，确定函数f（x）在[1，e]上的单调性，利用f（x）在[1，e]上的最小值为 ，即可求a的值．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．