Question

已知关于x的方程lnx-ax=0恰有一个实根，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

分析：先构造函数y=lnx-ax，借助于导数，进行分类讨论，可知当a≤0时，（0，1]之间必有一个实根；a=

1

e

 时，也恰有一个实根．

解答：解：设y=lnx-ax，则y'=

1

x

-a=0，x=

1

a

，y“=-

1

x2

＜0
当a≤0，y'＞0，最多有一个实根，因 y（0-）＜0，y（1）≥0，所以（0，1]之间必有一个实根
a＞0，x=

1

a

，y=-lna-1为极大值，此极大值若为0的话，则有一个实根，此时a=

1

e

 此极大值若大于0的话，会有两个实根，此极大值若小于0的话，则无实根．
因此a的取值范围为：(-∞，0]∪{

1

e

}，
故答案为(-∞，0]∪{

1

e

}

点评：本题利用导数解决方程根的个数问题，有一定难度，应注意细细体会．