Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c和函数g（x）=ln（1+x²）+ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知关于x的方程f（x）=x没有实数根，求证方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：．

Answer 1

（Ⅰ）解：
①当，即a≤﹣1时，g′（x）≤0对x∈R恒成立，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
②当﹣1＜a＜0时，令g′（x）＞0，则ax²+2x+a＞0
∴，
令g′（x）＜0，则ax²+2x+a＜0
∴或，
∴上单调递增，在和上单调递减；  
综上所述，当a≤﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
当﹣1＜a＜0时，g（x）在上单调递增，
在和上单调递减．
（Ⅱ）证明：∵关于x的方程f（x）=x没有实数根
∴ax²+bx+c=x没有实数根
∴ax²+（b﹣1）x+c=0没有实数根
∴△=（b﹣1）²﹣4ac＜0
∵f（f（x））=x
∴a（ax²+bx+c）²+b（ax²+bx+c）+c=x
∴[ax²+（b﹣1）x+c][a²x²+a（b+1）x+b+ac+1]=0
∵ax²+（b﹣1）x+c≠0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0
∵△=a²（b+1）²﹣4a²（b+ac+1）=a²[（b+1）²﹣4（b+ac+1）]=a²[（b﹣1）²﹣4ac﹣4]＜0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0无实根
∴方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由g（x）＜g（0）=0
得：ln（1+x²）＜x，
∴
           =lne，
∴e