Question

5．对任意两实数a、b，定义运算“max{a，b}”如下：max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，则关于函数f（x）=max{sinx，cosx}，下列命题中：
①函数f（x）的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]；         
②函数f（x）是周期函数；
③函数f（x）的对称轴为x=kπ+$\frac{π}{4}（k∈{Z}）$；
④当且仅当x=2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1；
⑤当且仅当2kπ＜x＜2kπ+$\frac{3}{2}π（k∈{Z}）$时，f（x）＜0；
正确的是①②③（填上你认为正确的所有答案）

Answer 1

分析 画出函数y=f（x）的图象，通过函数图象可以直观的看出何时取到最值，对称轴以及周期性等问题．

解答 解：画出函数y=f（x）的图象如图所示；

由图可知：
①函数f（x）的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴①正确；         
②函数f（x）是最小正周期为2π的函数，∴②正确；
③函数f（x）的对称轴为x=kπ+$\frac{π}{4}（k∈{Z}）$，∴③正确；
④x=2kπ或x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值1，∴④错误；
⑤当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+$\frac{3}{2}π（k∈{Z}）$时，f（x）＜0，∴⑤错误；
综上，正确的命题序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了分段函数的定义、图象与性质的应用问题，也考查了画图与识图的能力，是中档题．