Question

11．如图，三棱锥P-ABC的底面是边长为2的等边三角形，若$PA=PB=\sqrt{2}$，二面角P-BA-C的大小为60°，则三棱锥P-ABC的外接球的面积等于$\frac{52}{9}π$．

Answer 1

分析 由题意，P在平面ABC中的射影E在∠ACB的平分线上，球心O在平面ABC上的射影为△ABC的外心G，设OF⊥PE，垂足为E，利用勾股定理，即可得出结论．

解答 解：由题意，P在平面ABC中的射影E在∠ACB的平分线上，球心O在平面ABC上的射影为△ABC的外心G，设OF⊥PE，垂足为E，
则PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}$
∴R²=OG²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+OG）²，
∴R=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
∴三棱锥P-ABC的外接球的面积等于$\frac{52}{9}π$．
故答案为：$\frac{52}{9}π$．

点评 本题考查求三棱锥P-ABC的外接球的面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-ABC的外接球的球心是关键．