题目内容

6．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，双曲线C2的方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，C1与C2的离心率之积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则C2的渐近线方程为（　　）
A．$\sqrt{2}$x±y=0B．x±$\sqrt{2}$y=0C．2x±y=0D．x±2y=0

分析 通过椭圆与双曲线的方程可得各自的离心率，化简即得结论．

解答 解：∵椭圆C1的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，
∴椭圆C1的离心率e1=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$，
∵双曲线C2的方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1，
∴双曲线C2的离心率e2=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$，
∵C1与C2的离心率之积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$•$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{3}{4}$=$[1-（\frac{b}{a}）^{2}][1+（\frac{b}{a}）^{2}]$=1-$（\frac{b}{a}）^{4}$，
又∵a＞b＞0，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
故选：B．

点评 本题考查求椭圆的离心率问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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A．n＜2B．n＜3C．n＜4D．a＜3
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16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过椭圆右焦点F作两条弦AB与CD，当弦AB与x轴垂直时，|AB|=$\sqrt{2}$．
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（Ⅱ）若A点在第一象限，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，
（i）当k1+k2=0时，求△OAB的面积；
（ii）试判断四边形ACBD的面积是否有最小值？若有最小值，请求出最小值；若没有，请说明理由．

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