Question

求证:1+2+2²+2³+…+2^5n-1能被31整除.

Answer 1

证明:

记f(n)=1+2+2²+2³+…+2^5n-1,

用数学归纳法.当n=1时,命题显然成立.

根据归纳假设,当n=k时,命题成立,即f(k)=1+2+2²+2³+…+2^5k-1能被31整除.①

要证明n=k+1时,命题也成立,即f(k+1)=1+2+2²+2³+…+2^5k-1+2^5k+…+2^5(k+1)-1能被31整除.②

要用①来证明②,事实上,

f(k+1)=f(k)+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4,即要证

f(k+1)=f(k)+31×2^5k能被31整除.③

接下来,只需证31×2^5k能被31 整除,这是显然的事实,这就证明了③.

综上,可知1+2+2²+2³+…+2^5n-1能被31整除.