Question

求证:1+2+2²+2³+…+2^5n-1能被31整除.

Answer 1

答案：
解析：

证明: 记f(n)=1+2+22+23+…+25n-1, 用数学归纳法.当n=1时,命题显然成立. 根据归纳假设,当n=k时,命题成立,即f(k)=1+2+22+23+…+25k-1能被31整除.① 要证明n=k+1时,命题也成立,即f(k+1)=1+2+22+23+…+25k-1+25k+…+25(k+1)-1能被31整除.② 要用①来证明②,事实上, f(k+1)=f(k)+25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4,即要证 f(k+1)=f(k)+31×25k能被31整除.③ 接下来,只需证31×25k能被31 整除,这是显然的事实,这就证明了③. 综上,可知1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.