题目内容

如图，正△ABC的边长为15， $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求证：四边形APQB为梯形；
（2）求梯形APQB的面积．

解：（1）因 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
且| $\text{[math]}$ |=13，| $\text{[math]}$ |=15，
| $\text{[math]}$ |≠| $\text{[math]}$ |，
于是四边形APQB为梯形．
（2）设直线PQ交AC于点M，
则 $\text{[math]}$ ，
故梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
从而，梯形APQB的面积为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知中正△ABC的边长为15， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．根据向量加法的三角形法则，我们可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，根据数乘向量的几何意义，我们可得 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，但| $\text{[math]}$ |≠| $\text{[math]}$ |，进而根据梯形的判定定理得到四边形APQB为梯形；
（2）根据已知条件，结合（1）中的结论，我们可得| $\text{[math]}$ |=13，| $\text{[math]}$ |=15，梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的 $\text{[math]}$ ，代入梯形面积公式，即可求出梯形APQB的面积．
点评：本题考查的知识点是平面向量加法的三角形法则，数乘向量的几何意义，梯形面积公式，其中（1）的关键是根据向量加法的三角形法则，求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，进而根据数乘向量的几何意义，分析PQ边与AB的关系，（2）的关键是根据已知求出梯形的上、下底边长及高的长度．