题目内容
如图，正△ABC的边长为15，| AP |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 2 |
| 5 |
| AC |
| BQ |
| 1 |
| 5 |
| AB |
| 2 |
| 5 |
| AC |
（1）求证：四边形APQB为梯形；
（2）求梯形APQB的面积．
分析：（1）由已知中正△ABC的边长为15，
=
+
，
=
+
．根据向量加法的三角形法则，我们可得
=
，根据数乘向量的几何意义，我们可得
∥
，但|
|≠|
|，进而根据梯形的判定定理得到四边形APQB为梯形；
（2）根据已知条件，结合（1）中的结论，我们可得|
|=13，|
|=15，梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的
，代入梯形面积公式，即可求出梯形APQB的面积．
| AP |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 2 |
| 5 |
| AC |
| BQ |
| 1 |
| 5 |
| AB |
| 2 |
| 5 |
| AC |
| PQ |
| 13 |
| 15 |
| AB |
| PQ |
| AB |
| PQ |
| AB |
（2）根据已知条件，结合（1）中的结论，我们可得|
| PQ |
| AB |
| 2 |
| 5 |
解答：解：（1）因
=
+
+
=-
-
+
+
+
=
，
故
∥
，
且|
|=13，|
|=15，
|
|≠|
|，
于是四边形APQB为梯形．
（2）设直线PQ交AC于点M，
则
=
，
故梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的
，
即h=
×
×15=3
．
从而，梯形APQB的面积为
(13+15)×3
=42
．
| PQ |
| PA |
| AB |
| BQ |
=-
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 2 |
| 5 |
| AC |
| AB |
| 1 |
| 5 |
| AB |
| 2 |
| 5 |
| AC |
| 13 |
| 15 |
| AB |
故
| PQ |
| AB |
且|
| PQ |
| AB |
|
| PQ |
| AB |
于是四边形APQB为梯形．
（2）设直线PQ交AC于点M，
则
| AM |
| 2 |
| 5 |
| AC |
故梯形APQB的高h为正△ABC的AB边上高的
| 2 |
| 5 |
即h=
| 2 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 3 |
从而，梯形APQB的面积为
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查的知识点是平面向量加法的三角形法则，数乘向量的几何意义，梯形面积公式，其中（1）的关键是根据向量加法的三角形法则，求出
=
，进而根据数乘向量的几何意义，分析PQ边与AB的关系，（2）的关键是根据已知求出梯形的上、下底边长及高的长度．
| PQ |
| 13 |
| 15 |
| AB |
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