Question

如图，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AD和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； 
（2）求异面直线AB与DE所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）以D点为原点建立空间直角坐标系，利用向量的共线向量定理，证明线线平行，再由线线平行证线面平行；
（II）用坐标表示向量

EF

和

ED

，再利用向量的坐标运算求角的余弦值即可．

解答：解：（I）如图2，建立空间直角坐标系，则
D(0，0，0)，A(0，0，a)，B(a，0，0)，C(0，

3

a，0)，E(0，

3

2

a，

a

2

)，F(

a

2

，

3

2

a，0)
∴

AB

=(a，0，-a)，∴

EF

=(

a

2

，0，-

a

2

)，
∵

EF

=

1

2

AB

，
∴

EF

∥

AB

，∴AB∥EF，且EF?平面DEF，AB?平面DEF，
∴AB∥平面DEF
（II）∵AB∥EF，∴∠DEF即为异面直线AB与DE所成的角，
∴

ED

=(0，

3

2

a，-

a

2

)，

EF

=(

a

2

，0，-

a

2

)，
∴cos（

EF

，

ED

）=

EF • ED

| EF || ED |

=

a2 4

a• 2 2 a

=

2

4

．
∴异面直线AB与DE所成的角的大小为arccos

2

4

．

点评：本题考查利用向量坐标运算为工具证明线线平行，求异面直线所成的角．关键是建立空间直角坐标系，正确的给出向量的坐标表示．