Question

7．（1）解不等式：|2x-1|+|2x+1|≤6．
（2）求函数y=5$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{10-2x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的性质，分类讨论，即可求出不等式的解集，
（2）根据柯西不等式即可求出答案．

解答 解：（1）①当$x＜-\frac{1}{2}$时，不等式等价为$-（x-\frac{1}{2}）-（x+\frac{1}{2}）≤3$，即-2x≤3，$x≥-\frac{3}{2}$，此时$-\frac{3}{2}≤x＜-\frac{1}{2}$；
②当$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$时，不等式等价为$（x-\frac{1}{2}）-（x+\frac{1}{2}）≤3$，即-1≤3，恒成立，此时$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$；
③当$x＞\frac{1}{2}$时，不等式等价为$（x-\frac{1}{2}）+（x+\frac{1}{2}）≤3$，即2x≤3，$x≤\frac{3}{2}$，此时$\frac{1}{2}＜x≤\frac{3}{2}$，
综上不等式的解为$-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}$，所以不等式的解集为$A=\{x\left|{-\frac{3}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\right.\}$．
（2）函数的定义域为[1，5]，且y＞0，y=5×$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2}$×$\sqrt{5-x}$≤$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$×$\sqrt{（\sqrt{x-1}）^{2}+（\sqrt{5-x}）^{2}}$=$\sqrt{27×4}$=6$\sqrt{3}$，
当且仅当$\sqrt{2}×\sqrt{x-1}=5×\sqrt{5-x}$时，等号成立，即$x=\frac{127}{27}$时，函数取最大值$6\sqrt{3}$

点评 本题考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用，属于基础题．