题目内容

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．已知a₁=1，d=2，
①求当n∈N^时， $数学公式$ 的最小值；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^时， $数学公式$ + $数学公式$ …+ $数学公式$ $数学公式$ ．

解：①∵a₁=1，d=2，∴S_n= $\text{[math]}$ =n²，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ =16
当且仅当n= $\text{[math]}$ 即n=8时，上式取等号，
故 $\text{[math]}$ 的最小值是16；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^*时，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]
= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ …+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故命题得证．
分析：①通过等差数列的知识可求和，由基本不等式可得最值；②把①求到的和代入，由裂项相消法可求和，由不等式的放缩法可得结论．
点评：本题为数列和基本不等式的结合，涉及裂项相消法求和，属中档题．