题目内容

设数列{an}是公差不为0的等差数列,Sn为前n项和,满足a3,2a5,a12成等差数列,S10=60.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn
(2)试求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
分析:(1)利用等差数列的定义、通项公式及其前n项和公式即可得出;
(2)利用通项公式an≥0,即可得出此数列从哪一项开始大于0,进而即可去掉绝对值符号,再利用等差数列的前n项和公式即可得出.
解答:解:(1)设等差数列{an}的公差为d≠0,
∵满足a3,2a5,a12成等差数列,
∴4a5=a3+a12
又S10=60.
4(a1+4d)=2a1+13d
10a1+
10×9
2
d=60
,解得
a1=-3
d=2

∴数列{an}的通项公式an=-3+(n-1)×2=2n-5.
前n项和Sn=-3n+
n(n-1)
2
×2
=n2-4n.
(2)由an=2n-5≥0,解得n≥
5
2

∴当n=1,2时,an<0;
当n≥3时,a3>0.
∴当n=1时,|a1|=5-2×1=3;
当n=2时,|a1|+|a2|=5-2+5-2×2=4;
当n≥3时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-a1-a2+a3+a4+…+an=Sn-2(a1+a2)=n2-4n-2(-3-1)=n2-4n+8.
综上:当n=1时,|a1|=3;
当n=2时,|a1|+|a2|=4;
当n≥3时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=n2-4n+8.
点评:本题考查了等差数列的定义、通项公式及其前n项和公式及含绝对值符号的数列求和问题等基础知识与基本技能,分类讨论是解决含绝对值符号问题的关键,属于中档题.
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