Question

10．已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}a&1\\ 1&a\end{array}}]$（a为实数）．
（1）若矩阵A存在逆矩阵，求实数a的取值范围；
（2）若直线l：x-y+4=0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l'：x-y+2a=0，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，求A⁵．

Answer 1

分析 （1）利用矩阵可逆的充要条件可知丨A丨≠0，即可求得a的取值范围；
（2）根据矩阵变换的定义，由$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{ax+y}\\{x+ay}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，求得x′及y′，代入x'-y'+2a=0，即可求得a的值；
（3）根据矩阵的乘法求得A²，由A⁴=A²A²，求得A⁴，A⁵=A⁴A，即可求得A⁵．

解答 解：（1）由矩阵A存在逆矩阵，丨A丨≠0，
∴$|{\begin{array}{l}a&1\\ 1&a\end{array}}|={a^2}-1≠0$，
∴a≠±1…（3分）
（2）设l上任一点为（x，y）在A的作用下变为点（x'，y'），
$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{ax+y}\\{x+ay}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{x'=ax+y}\\{y'=x+ay}\end{array}}\right.$…（6分）
所以x'-y'+2a=ax+y-x-ay+2a=（a-1）x+（1-a）y+2a=0，
所以a=2…（9分）
${A^2}=[{\begin{array}{l}2&1\\ 1&2\end{array}}][{\begin{array}{l}2&1\\ 1&2\end{array}}]=[{\begin{array}{l}5&4\\ 4&5\end{array}}]$
（3）${A^4}=[{\begin{array}{l}5&4\\ 4&5\end{array}}][{\begin{array}{l}5&4\\ 4&5\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{41}&{40}\\{40}&{41}\end{array}}]$，
${A^5}=[{\begin{array}{l}{41}&{40}\\{40}&{41}\end{array}}][{\begin{array}{l}2&1\\ 1&2\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{122}&{121}\\{121}&{122}\end{array}}]$．…（14分）

点评 本题考查矩阵可逆的充要条件，考查矩阵的变换，矩阵的乘法，考查计算能力，属于中档题．