Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+a，\;\;\;\;\;\;x≤0\\|{\frac{1-x}{2（x+1）}}|，\;\;x＞0.\end{array}$若函数g（x）=f（x）-x恰有两个零点，则实数a的取值范围是$（0，+∞）∪\{-\frac{1}{4}\}$．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+a，\;\;\;\;\;\;x≤0\\|{\frac{1-x}{2（x+1）}}|，\;\;x＞0.\end{array}$的图象，若函数g（x）=f（x）-x恰有两个零点，则函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点，数形结合可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+a，\;\;\;\;\;\;x≤0\\|{\frac{1-x}{2（x+1）}}|，\;\;x＞0.\end{array}$的图象如下图所示：

当x＞0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，
即函数g（x）=f（x）-x恰有一个零点，
故x≤0时，函数g（x）=f（x）-x也恰有一个零点，
即x≤0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，
故a＞0，y=x与y=-x²+a相切，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，
故实数a的取值范围是：$（0，+∞）∪\{-\frac{1}{4}\}$，
故答案为：$（0，+∞）∪\{-\frac{1}{4}\}$

点评 本题考查的知识点是函数的图象，二次函数的图象和性质，数形结合思想，函数的零点，难度中档．