Question

【题目】四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，平面，与平面所成的角的正弦值为．

（1）在棱上求一点，使平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）分别取PD，PC的中点F，G，由三角形中位线定理及平行公理可得四边形AEGF为平行四边形，得AF∥EG，由线面平行的判定可得AF∥平面PEC，则PD的中点F即为所求；

（2）由已知可得∠CPE即为PC与平面PAB所成的角，求解直角三角形得到PA＝2，过D作BA的延长线的垂线，垂足为H，过H作PE的垂线，垂足为K，连接KD，可得∠DKH即为所求的二面角的平面角，然后求解直角三角形得答案．

（1）分别取PD，PC的中点F，G，则FG∥CD∥AB，，

∴四边形AEGF为平行四边形，则AF∥EG，又FG平面PEC，

∴AF∥平面PEC，

∴PD的中点F即为所求；

（2）由PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD，

∵E为AB中点，且BC＝2BE＝2，∠CBE＝60°，∴CE⊥AB．

∴∠CPE即为PC与平面PAB所成的角，

在Rt△PEC中，，即，

解得：PA＝2，

过D作BA的垂线，垂足为H，过H作PE的垂线，垂足为K，连接KD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH，

又DH⊥BA，∴DH⊥平面PBA，

∴DH⊥PE，则PE⊥平面DHK，得PE⊥DH，

∴∠DKH即为所求的二面角的平面角，

在Rt△DHK中，，

由于PEHK＝EHPA，∴，

从而，

∴，

即二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．