题目内容
【题目】已知数列
.如果数列
满足
， 
，其中
，则称
为
的“陪伴数列”.
（Ⅰ）写出数列
的“陪伴数列”
；
（Ⅱ）若
的“陪伴数列”是
.试证明： 
成等差数列.
（Ⅲ）若
为偶数，且
的“陪伴数列”是
，证明： 
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由“陪伴数列”的定义易得： 
.
（Ⅱ）证明：对于数列
及其“陪伴数列”
，
因为 
，
，
，
……
，
将上述几个等式中的第
这4个式子都乘以
，相加得
即可证明.
（Ⅲ）证明： 因为 
，
，
，
……
，
由于
为偶数，将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
，相加即可证明
试题解析：（Ⅰ）解： 
.
（Ⅱ）证明：对于数列
及其“陪伴数列”
，
因为 
，
，
，
……
，
将上述几个等式中的第
这4个式子都乘以
，
相加得
即
故
所以
成等差数列.
（Ⅲ）证明： 因为 
，
，
，
……
，
由于
为偶数，将上述
个等式中的第
这
个式子都乘以
，相加得
即
， 
.
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