Question

（文）设数列{a_n}的前n项和S_n=

n

n+1

，n=1，2，3…（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．（2）求数列{

1

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

（文） （1）∵数列{ a_n}的前n项和S_n=

n

n+1

 知a₁=S₁=

1

2

又由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
可知：a_n=

n

n+1

-

n-1

n

=

n2-(n2-1)

n(n+1)

=

1

n(n+1)

 （n≥2）又a₁=

1

2

满足a_n=

1

n(n+1)

 （n≥2）
故数列{ a_n}的通项公式a_n=

1

n(n+1)

 （n∈N*）
（2）∵a_n=

1

n(n+1)

，则

1

an

=n（n+1）=n²+n 于是{

1

an

}的前n项之和T_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+3²+…+n²）
=

n(n+1)

2

+

n(n+1)(2n+1)

6

=

n(n+1)(n+2)

3

．
数列{

1

an

}的前n项和T_n：

n(n+1)(n+2)

3

．