Question

（2007•武汉模拟）（文）设数列{a_n}的前n项和S_n=

n

n+1

，n=1，2，3…（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．（2）求数列{

1

an

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和S_n=

n

n+1

可求a₁，n≥2，a_n=S_n-S_n-1，验证n=1时是否满足，满足则合；
（2）由（1）求得an=

1

n(n+1)

，

1

an

=n2+n，利用分组求和的方法可求

n

i=1

1

ai

．

解答：（文） 解：（1）∵数列{ a_n}的前n项和S_n=

n

n+1

 知a₁=S₁=

1

2

又由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
可知：a_n=

n

n+1

-

n-1

n

=

n2-(n2-1)

n(n+1)

=

1

n(n+1)

 （n≥2）又a₁=

1

2

满足a_n=

1

n(n+1)

 （n≥2）
故数列{ a_n}的通项公式a_n=

1

n(n+1)

 （n∈N*）
（2）∵a_n=

1

n(n+1)

，则

1

an

=n（n+1）=n²+n 于是{

1

an

}的前n项之和T_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+3²+…+n²）
=

n(n+1)

2

+

n(n+1)(2n+1)

6

=

n(n+1)(n+2)

3

．
数列{

1

an

}的前n项和T_n：

n(n+1)(n+2)

3

．

点评：本题考查等差数列的前n项和，考查分类讨论思想与分组求和的方法，属于中档题．