Question

13．函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x+2|-a}$．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设a，b∈（-1，1），证明：$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=5代入，然后由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式得答案；
（Ⅱ）把要证的不等式转化为2|a+b|＜|4+ab|，然后利用平方作差证得答案．

解答 （Ⅰ）解：由|x+1|+|x+2|-5≥0，得x≤-4或x≥1．
∴A={x|x≤-4或x≥1}；
（Ⅱ）证明：∵$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|?2|a+b|＜|4+ab|$，
而4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）
=4a²+4b²-a²b²-16=a²（4-b²）+4（b²-4）=（b²-4）（4-a²），
又∵a，b∈（-1，1），∴（b²-4）（4-a²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
故$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}|$．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了绝对值不等式的解法，训练了利用作差法证明不等式，是中档题．