Question

已知tan

α

2

=2，
求；（1）tan(α+

π

4

)的值；
（2）

6sinα+cosα

3sinα-2cosα

的值；
（3）3sin²α+4sinαcosα+5cos²α的值．

Answer 1

分析：（1）首先根据二倍角的正切公式求出tanα=-

4

3

，再由正切的两角和差公式以及特殊角的三角函数值求出答案；
（2）将所求式子的分子分母同时除以cosα，得到

6sinα+cosα

3sinα-2cosα

=

6tanα+1

3tanα-2

，然后将tanα的值代入即可；
（3）利用齐次式分母1，利用平方关系，分子、分母同除cos²α，得到关于tanα表达式，利用（1）的结论求解即可．

解答：解：（1）∵tan

α

2

=2，∴tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

2×2

1-4

=-

4

3

…（4分）
所以tan(α+

π

4

)=

tanα+tan π 4

1-tanαtan π 4

=

tanα+1

1-tanα

=

- 4 3 +1

1+ 4 3

=-

1

7

…（7分）
（2）由（1）知，tanα=-

4

3

，
所以

6sinα+cosα

3sinα-2cosα

=

6tanα+1

3tanα-2

=

6(- 4 3 )+1

3(- 4 3 )-2

=

7

6

…（10分）
（3）3sin2α+4sinαcosα+5cos2α=

3sin2α+4sinαcosα+5cos2α

sin2α+cos2α

=

3tan2α+4tanα+5

tan2α+1

=

9

5

…（14分）

点评：本题考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系的应用，用tanα表示出要求的式子，是解题的关键．