Question

三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧面的面积分别为

2

，2

3

，

6

，则这个球的表面积是

9π

．

Answer 1

分析：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长就是球的直径，然后求球的表面积即可．

解答：解：∵三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球
设PA=a，PB=b，PC=c则

ab= 2  ① ac=2 3 ② bc= 6  ③

∴①×②×③可得abc=2

3

 ④
∴④÷①得c=

6

④÷②得b=1
④÷③得a=

2

∴求出长方体的对角线的长：

( 2 )2+12+( 6 )2

=3
∴球的直径是3，半径为

3

2

∴球的表面积：4π(

3

2

)2=9π
故答案为9π

点评：本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．解题的关键是要知道三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直则球的直径是以PA，PB，PC所构造出的长方体得对角线长这一常用结论！