Question

已知如图在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=1，若三棱锥P-ABC的四个顶点都在某一个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A、3π
• B、4π
• C、

  3 π

  2

• D、12π

Answer 1

分析：取PC的中点O，连结OA、OB．由线面垂直的判定与性质，证出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC与△PBC是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OP=

1

2

PC，所以P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC长，进而得到球半径R=

3

2

，利用球的表面积公式加以计算，可得答案．

解答：解：取PC的中点O，连结OA、OB
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵PB?平面PAC，∴BC⊥PB，
∵OB是Rt△PBC的斜边上的中线，OB=

1

2

PC．
同理可得：Rt△PAC中，OA=

1

2

PC，
∴OA=OB=OC=OP=

1

2

PC，可得P、A、B、C四点在以O为球心的球面上．
Rt△ABC中，AC=BC=1，可得AC=

AB2+BC2

=

2

，
Rt△PAC中，PA=1，可得PC=

PA2+AC2

=

3

．
∴球O的半径R=

1

2

PC=

3

2

，可得球O的表面积为S=4πR²=4π×(

3

2

)2=3π．
故选：A

点评：本题给出特殊的三棱锥，由它的外接球的表面积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．