Question

5．（1）已知点A（1，-3，2），B（-1，0，3），在z轴上求一点M，使得|AM|=|MB|；
（2）已知A（$\sqrt{3}$，3，3$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{2}$），在yOz平面上求一点C，使得△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）欲求点M的坐标，根据点M在z轴上的特点，可设点M的坐标为（0，0，z），结合空间两点间的距离公式利用题中条件：“|MA|=|MB|，”列关于z的方程，最后解此方程即可．
（2）设出C的坐标，利用距离公式列出方程组求解即可．

解答 解：（1）∵点M在z轴上，
∴设点M的坐标为（0，0，z），A（1，-3，2），B（-1，0，3），
又|MA|=|MB|，
由空间两点间的距离公式得：
$\sqrt{{1}^{2}+{（-3）}^{2}+{（z-2）}^{2}}$=$\sqrt{{（-1）}^{2}+0+{（z-3）}^{2}}$
解得：z=-2．
故点M的坐标是（0，0，-2）．
（2））∵点C在yOz平面上上，
∴设点C的坐标为（0，y，z），A（$\sqrt{3}$，3，3$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{2}$），|AB|=$\sqrt{0+4+8}$=2$\sqrt{3}$．
又△ABC为等边三角形，
由空间两点间的距离公式得：
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{（y-3）}^{2}+{（z-3\sqrt{2}）}^{2}}=2\sqrt{3}\\ \sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{（y-1）}^{2}+{（z-\sqrt{2}）}^{2}}=2\sqrt{3}\end{array}\right.$
解得：z=3$\sqrt{2}$．y=0，或z=$\sqrt{2}$，y=4，
故点M的坐标是（0，0，3$\sqrt{3}$），或（0，4，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了空间两点间的距离公式、空间坐标系中点的坐标表示、方程等基本知识，考查了计算能力．