题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，
，Sn＝n2an－n(n－1)，n＝1，2，…
(1)证明：数列{
Sn}是等差数列，并求Sn；
(2)设
，求证 ：b1＋b2＋…＋bn＜1．
【答案】(1)
． (2) 见解析．
【解析】试题分析：(1)在已知递推式式中，利用
，化简可得
，故而可证得结论；(2)利用裂项相消法求其前
项和即可.
试题解析：(1)由Sn＝n2an－n(n－1)知，
当n≥2时Sn＝n2(Sn－Sn－1)－n(n－1)，
即(n2－1)Sn－n2Sn－1＝n(n－1)，∴
Sn－
Sn－1＝1，对n≥2成立．
又
S1＝1，∴{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
Sn＝1＋(n－1)·1 ，∴Sn＝
．
(2)bn＝
＝
＝－
．
∴b1＋b2＋……＋bn＝1－＋－＋…－＝1－＜1．
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【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为
．
（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为
，求
的分布列和数学期望.
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
