Question

如图，已知椭圆的离心率为，其右焦点F是圆（x-1）²+y²=1的圆心．
（1）求椭圆方程；
（2）过所求椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M（0，m），N（0，n）两点，当时，求此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用圆心坐标求出焦点坐标以及c值，再利用离心率求出a，即可求出椭圆方程．
（2）先利用条件求出直线PM的方程，再利用直线PM与圆相切求出m与点P坐标之间的关系，同样求出n与点P坐标之间的关系，再把所求代入已知并利用点P在椭圆上，可以求出点P的坐标．
解答：解：（1）因为圆（x-1）²+y²=1的圆心是（1，0），
所以椭圆的右焦点为F（1，0），
∴椭圆的离心率是，
∴
∴a²=2，b²=1，所以椭圆方程为．（4分）
（2）设P（x，y），
由，
得或（舍），
∴．（5分）
直线PM的方程：，
化简得（y-m）x-xy+xm=0．
又圆心F（1，0）到直线PM的距离为1，
∴
∴（y-m）²+x²=（y-m）²+2xm（y-m）+x²m²
化简得：（x-2）m²+2ym-x=0，（7分）
同理：（x-2）n²+2yn-x=0，（9分）
∴=
∵P（x，y）在椭圆上∴
∴，（11分）
∴，∴（舍）或∴
所以，此时点P的坐标是．（12分）．
点评：本题的易错点在与忘记看点P所在位置，而把两个结果都要．