Question

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程

（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂=1

（Ⅲ）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，                

所以椭圆的标准方程为；                                  ……………1

所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。                                 ……………4

（Ⅱ）设点P（，），则=，=，所以=

，                                      ……………6

又点P（，）在双曲线上，所以有，即，所以

=1。                               ……………8

（Ⅲ）假设存在常数，使得恒成立，则由（Ⅱ）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，

由方程组消y得：，设，，

则由韦达定理得：                    ……………9

所以|AB|==，同理可得         ……………10

|CD|===，     ……………11

又因为，所以有=+

=，所以存在常数，使得恒成立。  

【解析】略