题目内容

如图，已知椭圆的离心率为，且经过点平行于的直线在轴上的截距为，与椭圆有A、B两个

不同的交点

   （Ⅰ） 求椭圆的方程；

    (Ⅱ)  求的取值范围；                              

   （III）求证:直线、与轴始终围成一个等腰三角形．

 

【答案】

 

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查转化与化归的思想方法,以及学生的运算能力.

解：（Ⅰ）设椭圆方程为………1分

离心率为所以,可得        

由经过点,

解得,…………………………3分

∴椭圆方程为……………………………4分

（Ⅱ）∵直线平行于，且在轴上的截距为

又

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（III）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分

设 则

由

……………………………………………………10分

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分

 

练习册系列答案
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（本小题满分12分）

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

（本小题满分13分）

  如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的

  左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭

  圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点

  分别 为和

   （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； 

   （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

   （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？

      若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

                                                             

（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；

（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

 

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1

（Ⅲ）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。

 

 

 

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