Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，．
（1）令，求数列{b_n}和{a_n}的通项公式；
（2）设，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N^*都有a_n=c_n+1-c_n成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，说明理由；
（3）对（2）中数列{c_n}，设，求{d_n}的最小项的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件，可得，从而可得{b_n}是公比为2的等比数列，由此可求数列{b_n}和{a_n}的通项公式；
（2）根据，作差，根据a_n=c_n+1-c_n恒成立，可得An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，由此可求A，B，C的值；                          
（3）由，令，利用配方法，即可求得结论．
解答：解：（1）由已知得，∴{b_n}是公比为2的等比数列，
∵b₁=2，∴
由，得
（2）∵，
∴=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ
若a_n=c_n+1-c_n恒成立，则An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，
∴，∴A=1，B=-4，C=6
故存在常数A=1，B=-4，C=6满足条件                              
（3），令
则=
∵t∈（0，1]，∴t=1时，的最大值为3
∴{d_n}的最小项的值为
点评：本题考查等比数列的证明，考查恒等式，考查求函数的最值，正确利用数列通项是关键．