Question

【题目】已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足

（Ⅰ）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点做直线与轨迹交于两点，若在轴上存在一点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查求轨迹方程，设动点，由于点在轴上，点在轴的正半轴上，于是可以根据条件表示出，再根据，坐标表示后整理可求出N点的轨迹方程，注意曲线上点坐标的取值范围；（Ⅱ）本问考查直线与抛物线位置关系，由题分析，直线的斜率显然存在且不为0，于是可设方程为，与曲线C的方程联立，消去未知数x，得到关于y的一元二次方程，设，于是得出， ，根据弦长公式求出，若在轴上存在一点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则点到轴的距离不大于，转化为关于的不等式，可以求出取值范围.

试题解析:（Ⅰ）设点,由,得,

由得，所以

又因为点在轴的正半轴上，所以,所以

（Ⅱ）设直线

得直线的方程代入,得，①

又是方程①的两个不相等的实根，

由，解得 ②

线段的中点的坐标为

在轴上存在一点，使得是以为直角顶点的直角三角形，

点到轴的距离不大于，即

化简，得，解得

结合②得直线的斜率的取值范围为.