在平面直角坐标系xOy中.椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.直线y=x与椭圆C交于点E.F.直线y=-x与椭圆C交于点G.H.且四边形EHFG的面积为$\frac{16}{5}$．(1)求椭圆C的方程,(2)过椭圆C的左顶点A作直线l1交椭圆C于另一点P.过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=-x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为$\frac{16}{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点A作直线l₁交椭圆C于另一点P，过点A作垂直于l₁的直线l₁，l₂交椭圆C于另一点Q，当直线l₁的斜率变化时，直线PQ是否过x轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

分析（1）利用椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得出a=2b，直线y=x代入椭圆C，可得$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$b，利用四边形EHFG的面积为$\frac{16}{5}$，求出b，可得a，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线l₁的方程代入椭圆的方程，消去y，整理得一元二次方程，由韦达定理，可求得P的坐标，以-$\frac{1}{k}$代入，可得Q（$\frac{2{k}^{2}-8}{{k}^{2}+4}$，-$\frac{4k}{{k}^{2}+4}$），从而可求PQ的直线方程，令y=0，即可得到结论．

解答解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2b，
直线y=x代入椭圆C，可得$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$b，
∵直线y=x与椭圆C交于点E，F，直线y=-x与椭圆C交于点G，H，且四边形EHFG的面积为$\frac{16}{5}$，
∴（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$b）²=$\frac{16}{5}$，
∴b=1，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线斜率为k，则直线l₁的方程为y=k（x+2）
把它代入椭圆的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由韦达定理得-2+x₁=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁=k（x₁+2）=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，∴P（$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），
以-$\frac{1}{k}$代入，可得Q（$\frac{2{k}^{2}-8}{{k}^{2}+4}$，-$\frac{4k}{{k}^{2}+4}$），则k_PQ=-$\frac{5k}{4（{k}^{2}-1）}$
∴PQ的直线方程为y-$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{5k}{4（{k}^{2}-1）}$（x-$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
令y=0，则x=$\frac{16k（{k}^{2}-1）}{5k（1+4{k}^{2}）}$+$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{6}{5}$．
∴直线PQ过x轴上的一定点（-$\frac{6}{5}$，0）．

点评本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．

练习册系列答案

暑假生活教育科学出版社系列答案

新课标快乐假期轻松学习黄金假日系列答案

赢在课堂快乐暑假新疆美术摄影出版社系列答案

快乐假期暑假作业延边教育出版社系列答案

暑假学习乐园浙江科学技术出版社系列答案

$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

D．

$-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

1．S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₇=28，记b_n=[lga_n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b₁，b₁₁，b₁₀₁；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前1000项和．

3．椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1的焦距为2$\sqrt{3}$．

10．将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}}$）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）

	A．	[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ+$\frac{π}{3}}$]（k∈Z）		B．	[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}}$]（k∈Z）
	C．	[4kπ-$\frac{7π}{3}$，kπ-$\frac{π}{3}}$]（k∈Z）		D．	[4kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{3}}$]（k∈Z）