题目内容

直线l：3x+4y-12=0与椭圆 $数学公式$ 相交于A、B两点，点P是椭圆上的一点，若三角形PAB的面积为12，则满足条件的点P的个数为

A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个

B
分析：由题意可得AB=5，则由三角形PAB的面积为12可得AB的距离 h= $\text{[math]}$ ，作与AB平行的直线l，使l与椭圆 $\text{[math]}$ 相切，设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，把l的方程代入椭圆方程化简，由判别式等于0 解得 k值，从而得到直线l的方程，求出直线l与AB间的距离，将此距离和h作比较，从而得出结论．
解答：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12= $\text{[math]}$ AB•h，可得P到AB的距离 h= $\text{[math]}$ ．
作与AB平行的直线l，使l与椭圆 $\text{[math]}$ 相切，设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，
把l的方程代入椭圆方程化简可得 x²-4kx+8k²-8=0，
由△=16k²-32（k²-1）=0
∴k= $\text{[math]}$ ，或 k=- $\text{[math]}$ ，
故直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
因为 $\text{[math]}$ 与AB的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 与AB的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ．故这样的点P共有 2个，
故选 B．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两平行线间的距离公式，得到与AB平行的且与椭圆相切的切线l 的方程的个数是解题的关键．