题目内容
【题目】2019年11月2日，中国药品监督管理局批准了治疗阿尔茨海默病（老年痴呆症）新药GV-971的上市申请，这款新药由我国科研人员研发，我国拥有完全知识产权.据悉，该款药品为胶囊，从外观上看是两个半球和一个圆柱组成，其中上半球是胶囊的盖子，粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形
，其周长为50毫米，药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设
的长为
毫米.（注：
，
，其中
为球半径，
为圆柱底面积，
为圆柱的高）
（1）求胶囊中药物的体积
关于
的函数关系式；
（2）如何设计与
的长度，使得最大？
【答案】(1) 
，
. (2) 
为
毫米，
为
毫米
【解析】
（1）利用已知条件结合体积公式求出胶囊中药物的体积
关于
的函数关系式；
（2）通过函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值即可得到答案.
解：（1）由
得
，
，所以，
所以药物体积
，.
（2）求导得
，令
，得
或
（舍），
当
，
，在区间
上单调增，
当
，
，在区间
上单调减，
所以当时，有最大值，此时
，
，
答：当为毫米，为毫米时，药物的体积有最大值.
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