Question

【题目】已知函数在处的切线斜率为.

（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；

（2）若，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见证明

【解析】

(1)先对函数求导，由函数在处的切线斜率为即可求出的值，进而可得函数的单调性；

(2)要证，即证，构造函数，，用导数的方法求函数的最小值和函数的最大值，即可得出结论.

（1）

由切线斜率，解得．

，其定义域为，

令，解得，故在区间上单调递增；

令，解得，且，故在区间和区间上单调递减；

（2）由（1）知，定义域为．

从而等价于，

设，则，.

当时，，当时，.

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

从而在的最小值为.

设，则，

当时，，当时，

故在区间上单调递增，在区间上单调递减，

从而在的最大值为，

综上所述，在区间上恒有成立，即．