题目内容

已知点P在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6-|PF2|，且椭圆C的离心率为
5
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得
GM
•
GN
为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（Ⅰ）要求椭圆C的方程，根据已知|PF1|=6-|PF2|，可求2a，又
c
a
=
5
3
可求c，然后由b2=a2-c2可求b，进而可求椭圆C的方程
（Ⅱ）假设存在符合条件的点G（t，0），因l不垂直于x轴，可设直线l的方程为y=k（x-1），联立方程可得（4+9k2）x2-18k2x+9k2-36=0，由点Q（1，0）在椭圆内部，可得直线l必与椭圆有两个不同交点．根据方程根与系数可设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=
18k2
4+9k2
，x1x2=
9k2-36
4+9k2
．
GM
•
GN
=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2．（﹡）
解法一：设
GM
•
GN
=s，则(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2=s，整理得：（9t2-18t-9s-23）k2+4t2-4s-36=0，此式对任意k∈R恒成立，整理可求
解法二：由（﹡）式整理得=
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9
．若
GM
•
GN
为定值，则
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9
对任意k∈R恒为常数，从而可求
解答：解：（Ⅰ）因为|PF1|=6-|PF2|，所以2a=6，即a=3
又
c
a
=
5
3
，所以c=
5
，b2=a2-c2=4
所以椭圆C的方程为
x2
9
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点G（t，0），因l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=k（x-1），
与椭圆C：
x2
9
+
y2
4
=1联立并消去y得：（4+9k2）x2-18k2x+9k2-36=0
∵点Q（1，0）在椭圆内部，∴直线l必与椭圆有两个不同交点．
设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=
18k2
4+9k2
，x1x2=
9k2-36
4+9k2
．
GM
=(x1-t，y1)，
GN
=(x2-t，y2)
GM
•
GN
=(x1-t)(x2-t)+y1y2
，   =x1x2-(x1+x2)t+t2+k2(x1-1)(x2-1)
，   =(1+k2)x1x2-(x1+x2)(t+k2)+t2+k2

=(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2．（﹡）
解法一：设
GM
•
GN
=s，则(1+k2)
9k2-36
4+9k2
-
18k2
4+9k2
(t+k2)+t2+k2=s，
整理得：（9t2-18t-9s-23）k2+4t2-4s-36=0，此式对任意k∈R恒成立；
所以
9t2-18t-9s-23=0
4t2-4s-36=0
，解得
t=
29
9
s=
112
81
．
∴存在这样的定点G(
29
9
，0)满足题意．
解法二：由（﹡）式得：
GM
•
GN
=
(1+k2)(9k2-36)-18k2(t+k2)+k2(9k2+4)
9k2+4
+t2
=
-27k2-36-18tk2+4k2
9k2+4
+t2=
-3(9k2+4)-24-18tk2+4k2
9k2+4
+t2

=
-24-18tk2+4k2
9k2+4
+t2-3=
4
9
(9k2+4)-
16
9
-24-18tk2
9k2+4
+t2-3
=
-2t(9k2+4)-
16
9
-24+8t
9k2+4
+t2-3+
4
9
=
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9
．
若
GM
•
GN
为定值，则
8t-
232
9
9k2+4
+t2-2t-
23
9
对任意k∈R恒为常数，
所以必有8t-
232
9
=0，即t=
29
9
．
从而
GM
•
GN
=t2-2t-
23
9
=
112
81
．
所以存在这样的定点G(
29
9
，0)满足题意．
点评：本题考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程，及直线与椭圆相交的应用的求法，关键是利用题中给出的条件，灵活运用韦达定理，利用方程的思想进行求解．
练习册系列答案
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已知椭圆C的中心为原点O，点F2（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F2与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，△OAB的面积S△OAB=
2
2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P在椭圆C上，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．
（2013•鹰潭一模）已知点P是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F1，F2是椭圆的两个焦点，|OP|=
10
2
，
PF1
•
PF2
=
1
2
（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使
OM
+
ON
=λ
OA
，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．
已知点P在椭圆x2+8y2=8上，并且P到直线l：x－y+4=0的距离最小，则P点的坐标是

A.(－,)                              B.(,)

C.(0,±1)                                 D.(±2,0)
已知点P是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F1，F2是椭圆的两个焦点，|OP|=，•=（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

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