Question

已知椭圆C的中心为原点O，点F₂（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F₂与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，△OAB的面积S△OAB=

2

2

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P在椭圆C上，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），依题意知c=1，当直线l垂直于x轴时，A（c，y₀），代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1可求得a²=2b⁴，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）依题意，利用椭圆的定义与余弦定理可求得|PF₁|•|PF₂|=

4

3

，再利用正弦定理即可求得△F₁PF₂的面积．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵它的一个焦点F₂（1，0），即c=1，
∴a²-b²=c²=1①
当直线l垂直于x轴时，A（c，y₀），代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得：y02=b²（1-

c2

a2

）=

b4

a2

，
∴S_△OAB=

1

2

|OF₂|•|AB|=

1

2

×1×2|y₀|=

b2

a

=

2

2

，
∴a²=2b⁴，②
由①②解得a²=2，b²=1，
故椭圆C的方程为

x2

2

+y²=1．
（Ⅱ）依题意，作图如图：
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=2

2

，|F₁F₂|=2c=2，∠F₁PF₂=60°，
∴由余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos∠F₁PF₂
=(2

2

)2-2|PF₁|•|PF₂|-2|PF₁|•|PF₂|cos60°
=8-3|PF₁|•|PF₂|
=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=

4

3

，
∴△F₁PF₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin60°
=

1

2

×

4

3

×

3

2

=

3

3

．

点评：本题考查椭圆的性质与椭圆的标准方程，考查椭圆的定义与余弦定理．正弦定理的综合应用，属于中档题．