Question

已知点P是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的点，椭圆短轴长为2，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，|OP|=，•=（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆短轴长为2，求b．利用，|OP|=，•=，可求c，进而求出椭圆方程和离心率．
（Ⅱ）将直线方程和椭圆方程联立，进行消元，转化为一元二次方程问题，然后利用根与系数之间的关系进行求解．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0）由|OP|=，得，…（1分）
由•=得，即…（2分）
所以c=，又因为短轴长为2，所以b=1，所以离心率e=，…（4分）
椭圆C的方程为：；…（6分）
（Ⅱ）解法一：由得，设直线MN的方程为y=kx+m，
联立方程组消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，…（8分）
所以．

因为+=λ，λ∈（0，2），所以，，
得，于是，…（9分）
所以…（10分）
又因为λ＞0，原点O到直线MN的距离为   所以=，
当，即时等号成立，S_△OMN的最大值为…（13分）
点评：本题主要考查了椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系．综合性较强，运算量较大．