Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，t）（t∈R），$\overrightarrow{n}$=（sinx-cosx，1），函数y=f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度后得到y=g（x）的图象且y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]内的最大值为$\sqrt{2}$．
（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-1，a=2，求BC边上的高的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量数量积公式和辅助角公式推知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+t-1，由此求得该函数的最小正周期；根据三角函数的恒等变换求得函数g（x）=$\sqrt{2}$sin2x+t-1，根据正弦函数的值域的求法可以得到t的值；
（2）由$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-1求得A，再结合正弦定理和余弦定理求BC边上的高的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（2cosx，t），$\overrightarrow{n}$=（sinx-cosx，1），
∴函数y=f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2sinxcosx-2cos²x+t=sin2x-cos2x+t-1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+t-1，
将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度后，得g（x）=$\sqrt{2}$sin2x+t-1的图象，
（1）当0≤x≤$\frac{π}{4}$时，0≤2x≤$\frac{π}{2}$，
∴$g{（x）}_{max}=\sqrt{2}+t-1=\sqrt{2}$，得t=1．
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=-1，
∴$\sqrt{2}$g（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{4}$）=2[sin（A-$\frac{π}{2}$）=-2cosA=-1，
解得：cosA=$\frac{1}{2}$，
故A=$\frac{π}{3}$，
又∵a=2，
此时△ABC的外接圆O中，a边2所对的圆角角为$\frac{π}{3}$，
故当△ABC为等边三角形时，
a边上的高取最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，主要考查了正弦定理，余弦定理，及三角函数的诱导公式，考查了基础的知识的综合运用，是中档题．