Question

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.

（1）证明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.

Answer 1

证明:（1）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD.

建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，

则A（，0，0），B（，1，0），C（，1，0），D（，0，0），V（0，0，），

∴=（0，1，0），=（-1，0，0），=（，0，).

由·=(0,1,0)·(-1,0,0)=0⊥,

·=(0,1,0)·(,0,)=0⊥.

又AB∩AV=A,∴AB⊥平面VAD.

（2）由（1）得=（0，1，0）是面VAD的法向量.

设n=（1，y,z)是面VDB的法向量，则

n=(1,-1,).

∴cos〈，n〉.

∴面VAD与面VDB所成的二面角的大小为π-arccos.